הגדרות וסימונים. n מטריצה מסדר 1 x עמודות. המספרים דוגמה 2.1: סימונים: ,..., A בצורה: למשל, מטריצה הערה: 1,..., n 1 x

Transkript

1 . אלגברה של מטריצות היא טבלת מספרים (מערך מלבני של מספרים) של m שורות ו- הגדרות וסימונים מטריצה מסדר m עמודות... a a am a m. [ aij ] m a ij המספרים a ij נקראים האיברים של מטריצה ולקיצור מסמנים או דוגמה.: עמודות שלה, אז אפשר לרשום את היא מטריצה מסדר x היא מטריצה מסדר x3 B a הוא איבר של מטריצה בשורה ובעמודה.b 6 3 הינו איבר של מטריצה B בשורה ובעמודה 3,..., R :,..., R m R שורות של וב-,..., סימונים: R m נסמן ב- בצורה:. M m קבוצה של כל המטריצות מסדר m מסמנים אם,m= אז מטריצה נקראת ריבועית מסדר. 4 למשל, מטריצה ריבועית מסדר. הערה: לווקטור שורה או לווקטור עמודה אפשר להתייחס כמטריצה. מטריצה מסדר x x,..., xm x מטריצה מסדר x : M x לכן, כאשר מתייחסים לווקטור כמטריצה מדגישים האם הוא ווקטור שורה או ווקטור עמודה.

2 M.. יחסים ופעולות בקבוצת מטריצות m a ij הגדרת שוויון מטריצות: שתי מטריצות ו- B שוות מתקיימים שני תנאים, m סדר מאותו ו- B. j, i m לכל a m ij b ij... הגדרת הכפל בסקלר: ו- מספר (סקלר), אז [ aij ] m תהי. y x ו- 3 y x, y דוגמא.: מצא מספרים ממשיים עבורם מתקיים x y 3x 6 פתרון: לפי הגדרות הכפל בסקלר ושוויון מטריצות מתקיים: ו-, R מתקיים: B, Mm תכונות הכפל של מטריצה בסקלר: יהיו ו- M m סגירות - קיבוציות - B B תכונת סקלר - חוקי פילוג - וגם B שתי מטריצות מאותו [ bij ] m. ו- [ aij ] m יהיו הסדר, m j, i m.. הגדרת חיבור מטריצות: נגדיר ] bij B[ aij לכל m : m דוגמא.3: יהיו נתונות שתי מטריצות ו- B מסדר 4. B חשב את המטריצה B ו פתרון: B 3 3 דוגמא.4: מצא את x,y,z באם קיימים כך שמתקיים x 4 4 y 3 y z 8

3 תשובה:. x, y 4, z 7 BC,, Mm תכונות החיבור של מטריצות: יהיו מתקיים: O שכל איבריה אפסים ו- O B Mm B B B C BC m M m aij M m m סגירות - חילופיות - קיבוציות - ניטראלי לחיבור - קיימת מטריצה איבר נגדי - לכל מטריצה שמקיימת קיימת מטריצה C O C aij M m m..3 כפל של מטריצות - מבוא לפני שניתן הגדרה פורמלית של פעולה זו ננסה להבין את אופן ביצוע על דוגמאות. דוגמא.5: א. מכפלת מטריצת שורה (משמאל) במטריצת עמודה (מימין). C 3 34 b 3 a a a3 b ab ab a3b3 a jbj כלומר: j b 3 ב. מכפלת מטריצת שורה במטריצה בעלת שתי עמודות. C , 6 3 כאן: 3 3 c a b a b a b a b, c a b a b a b a b 3 3 j j 3 3 j j j j ג. מכפלת מטריצות- דוגמא נוספת: C 4 6 3, כאן: 3 3 c a b a b a b a b, c a b a b a b a b 3 3 j j 3 3 j j j j 3 3 c a b a b a b a b, c a b a b a b a b 3 3 j j 3 3 j j j j 3

4 מסקנה: כדי שיהיה ניתן להכפיל מטריצה במטריצה B ולקבל, C B מספר האיברים בשורות של חייב להיות זהה למספר האיברים בעמודות של B. כלומר, אם מסדר m אז B חייבת להיות מסדר. k במלים אחרות, "אורך" השורה ב- צריך להיות שווה ל"אורך" העמודה ב- B., אז B bij M k k m k aij M m m הגדרת הכפל של מטריצות: יהיו C תוגדר באופן הבא: המטריצה B C c ij Mm k mk a b a b... a b ו- - C היא מטריצה מסדר - את אברי המטריצה C מחשבים לפי נוסחה זו, B אז מכפלה B מוגדרת ונקבל: c ij 3 i j i j ו- 4 3 i j דוגמא.6: יהיו נתונות מטריצות מכפלה B לא מוגדרת, כי אורך שורה של B לא שווה לאורך עמודה של. לכן ברור שכפל מטריצות B לא תמיד שווה ל-. B C, B תכונות הכפל של מטריצות:, יהיו מטריצות, מתקיים:! Im m B אין חילופיות בכפל (כלומר לא תמיד.(B=B למשל, 6 B C B C 3 E 4 D 3 3 יש קיבוציות (בדוק!): מתקיים חוק הפילוג: ו- אם שתי מטריצות אז, E D E D D E D E I קיימת מטריצה ניטראלית לכפל: נסמן ב- מטריצה שאברי האלכסון הראשי שלה m כולם שווים ואברים מחוץ לאלכסון הראשי שלה כולם אפסים. לכל מטריצה, שים לב זהו ניטראלי לכפל מימין, משמאל נזדקק ל- מתקיים (הוכח!): I נקראת מטריצת יחידה מסדר. k שחלק מאבריה שונים מאפס קיימת מטריצה m אין איבר הופכי: לא לכל מטריצה. למשל, לא קיימים (בדוק על ידי חישוב המכפלה באגף שמאל!) מספרים כך ש- B I x y. שמקיימים: x, yzw,, z w I הגדרת מטריצה הפוכה: אם עבור מטריצה B כך ש- ריבועית קיימת מטריצה..4 4

5 .. B B, B B נאמר ש- מטריצה הפיכה, B מטריצה הפוכה ל-, ונסמן I B דוגמא.6: יהיו נתונות שתי מטריצות ו- בדוק (על פי ההגדרה) שהמטריצות הפוכות זו לזו, כלומר B ו-, B, דוגמא.7: יהיו נתונות שלוש מטריצות.C הוכח או הפרך את הטענות: א. אם במטריצה קיימים איברים שונים מאפס ו- C B אז B=C (לא נכון) (לא נכון) ב. B B B B C B, מהווה דוגמא נגדית לשתי הטענות), (למשל, הבחירה הערה: דרך לחישוב המטריצה ההפוכה (במקרה והיא קיימת) נלמד בהמשך. טענה.: x b b x x וקטור המשתנים. b מטריצה נתונה ו- וקטור נתון. נסמן ב- m תהי : : x bm א. כתיבת מערכת המשוואות הליניאריות בצורה ax a x... a x b ax ax... ax b... am x amx... amx bm על פי הגדרת הכפל של מטריצות שקולה לכתיבה: x b m.( ניתן,,..., (כלומר, עמודות של מטריצה,,..., ב. נסמן ב- R לרשום (בדוק!): x x x x... דוגמא.8: x x ניתן לרשום בצורה xb כאשר א. מערכת 3x 4x 3 x b מטריצת מקדמים ו- הוא וקטור הנעלמים, x x וקטור מקדמים החופשיים. 5 3 ב הוא. B B, B... B k, אז,,..., k k B B B B M טענה.: Mm אם ו- 5

6 B B יהיו, B 3 5 B B, B 3 5 B, B 3 דוגמא.9: פעולות חזקה של מטריצה הגדרת החזקה של מטריצה (למטריצות ריבועיות בלבד): תהי מטריצה ריבועית, אז... לכל טבעי נגדיר: I כמו כן נגדיר: פעמים 3, 3, אם מטריצה הפיכה, לכל טבעי נגדיר: m m, דוגמא.9: תכונות של פעולות החזקה. m m m m אם הפיכה, אז אם הפיכה, אז פעולת שיחלוף מטריצה בפעולת שיחלוף ממטריצה מקבלים את על ידי החלפת שורות של בעמודות שלה, למשל: 3,,, aij Mm הגדרת שיחלוף של מטריצה: תהי נתונה מטריצה מקבלים מטריצה חדשה, בפעולת שחלוף המשוחלפת של. במילים אחרות: a am M a a m aji M m m a... a... am... a m M..6 m..5 אם תכונות של פעולות השחלוף אז B B B B אם הפיכה, אז 6

7 .3. מטריצות ריבועיות מיוחדות.3. הגדרות היא מטריצת האפס (הגדרנו מסדר כללי). מטריצת האפס הריבועית מסדר O M. O וגםO O מתקיים: לכל M הערה: מטריצת היחידה (הגדרנו).... I M I I מתקיים: לכל M הערה:, B I כלומר: מטריצה סקלרית B I B B מתקיים: לכל M הערות: - מטריצות סקלריות מסדר מתחלפות בכפל עם כל מטריצה מסדר. - B I יש מטריצה הפוכה B I לכל מטריצה סקלרית שונה מאפס -, D,, I מטריצה אלכסונית D C D אז שורות של נכפלות באברי אלכסון מתאימים, כך נסמן הערות: - C ששורה i -ית של C היא. Ri iri ואילו אם נכפיל מטריצה במטריצה אלכסונית D מימין אז העמודות שלה יוכפלו באברי אלכסון מתאימים (בדוק!). מכפלת שתי מטריצות אלכסוניות זו מטריצה אלכסונית שאברי האלכסון שלה - שוות למכפלת אברי אלכסון מתאימים למטריצה אלכסונית יש מטריצה הפיכה אם ורק אם כל אברי האלכסון שלה - שונים מאפס (בדוק טענה, ומצא מטריצה הפוכה למטריצה אלכסונית כזו!). 7

8 מטריצה משולשת (עליונה): * * : הערות: - מכפלת שתי מטריצות משולשות עליונות זו מטריצה משולשת עליונה שאברי האלכסון שלה שוות למכפלת אברי אלכסון מתאימים * * * * * * * * * - למטריצה משולשת יש מטריצה הפיכה אם ורק אם כל אברי האלכסון שלה שונים מאפס (בדוק טענה, ומצא מטריצה הפוכה למטריצה משולשת כזו!).. i, j. i, j aij a ji aij מטריצה סימטרית: או או לכל a לכל ij a ji נקראת הפיכה אם קיימת מטריצה מטריצה הפוכה ל-, ונסמן למשל, 3 מטריצה אנטי-סימטרית: למשל, מטריצה הפיכה (הגדרנו): מטריצה ריבועית B B כך ש- I. במקרה זה נאמר ש- B B. B משפט.: למטריצה הפיכה קיימת מטריצה הפוכה יחידה. B הפוכות ל-. מקיבוציות בכפל המטריצות נובע כי B ו- הוכחה: אם B B B B I B B I B B דוגמא.: הוכח או הפרך את הטענות: i לכל aii אנטי- סימטרית סימטרית ו- B סימטרית אז B סימטרית (נכון) (לא נכון) הגדרת עקבה של מטריצה ריבועית: תהי מטריצה ריבועית מסדר. נסמן ב- tr a a a ונגדיר אותה באופן הבא:, את העקבה של tr()... תכונות העקבה: R לכל tr tr tr B tr trb tr B trb דוגמא.: הוכח או הפרך את הטענה: קיימות מטריצות ו- B כך ש:.B-B=I B-B=I הפרכה בשלילה: נניח כי קיימות מטריצות ו- B שמקיימות tr(b-b)=tr(b)-tr(b)= אבל tr(b-b)=tri= אז קיבלנו סתירה. מסקנה :לא קיימות מטריצות ו- B כך ש-.B-B=I 8

9 .4. מטריצה הפוכה- קיום מטריצה הפוכה ומציאת מטריצה הפוכה. ריבועית. נרצה לענות על שתי שאלות: תהי נתונה מטריצה האם הפיכה?? הפיכה, איך מוצאים את אם כדי לענות על שאלות הנ"ל נחזור קודם לממ"ל: a a ax... a x b מטריצת x b... שניתן לרשום בצורה. כאן a a ax... ax b x b.. x וקטור עמודה של נעלמים ו- וקטור מקדמים החופשיים. b המקדמים הנתונה,.. b x תזכורת: לממ''ל של - משוואות ב- נעלמים עם מטריצת מקדמים ריבועית מסדר x b יש פתרון יחיד אם ורק אם. rak למציאת הפתרון מדרגים את המטריצה מורחבת: b I с דירוג с с במקרה זה (כש- ( rak מטריצה מדורגת קנונית שקולת שורה ל- היא I c x c הוא וקטור פתרון היחיד של ממ"ל. כלומר והמערכת השקולה היא: c c x c מציאת מטריצה הפוכה:. X I כך שיתקיים, X תהי נתונה מטריצה ריבועית מסדר. מחפשים מטריצה כלומר: a a x x a a x x a a x x למעשה עלינו לפתור את ממ"ל-יות: x x x x,,, x x x, x k, או, במילים אחרות, עלינו לפתור ממ"ל מהסוג:, I k. I ( I,..., I ) ניתן לפתור את כולן בו זמנית (כדי לחסוך דירוג פעמים של ) לפי הסכמה: 9

10 I I משפט.: תהי ריבועית מסדר, אז טענות הבאות שקולות: א. הפיכה. ב. למערכת x b פתרון יחיד עבור כל וקטור b. ג.. rak הוכחה: א. ב. אם הפיכה, אז: x b x b x b כלומר למערכת x b פתרון יחיד. ב. ג. מהמשפט הקודם. ג. א.: נניח, כי, rak אז מטריצה הפוכה ניתן למצוא לפי הסכמה. I I דירוג דוגמא :. מצא את ל- 3 3 פתרון: 3 3 לכן דוגמא :.3 מצא מטריצה X המקיימת: X X B B ו- כאשר 3 3 פתרון: X I B הפיכה אז I- אם המטריצה. X X B I מתקיים: X B I נחפש את ההפוכה של :I- R33 R3R R RR R R R R R R X ולכן, I מקבלים כי דוגמא.4: דירוג

11 d b. בדוק! c a, אז ad bc a c b d תהי כך ש-

12 תרגילים. יהיו נתונות מטריצות ו- B ריבועיות מסדר. הוכח או הפרך את הטענות הבאות: I I א. B B B ב. B B B ג. I I I ד.. יהיו נתונות מטריצות ו- B ריבועיות מסדר. הוכח או הפרך את הטענות הבאות: א. אם לא הפיכה, אז יש בה שורת אפסים אחת לפחות. ב. לא הפיכה אם ורק אם היא שקולת שורות למטריצה בעלת שורת אפסים. ג. אם הפיכה ו-, B אז. B ד. אם ו- B הפיכות, אז B הפיכה. ו- סימטריות. ה. מטריצות אנטי סימטרית. ו. מטריצה עבור כל k טבעי. k B k B ז. אם, אז. ח. אם B, ו- B סימטריות, אז k.3* האם קיימת מטריצה ריבועית מסדר 3 כך ש: ו-. 3 -) מטריצת "אפס").. b R 4. נתון כי מטריצה a... a... a... a היא מטריצה מקדמים לממ"ל x b וכי למערכת הזאת יש פתרון לכל וקטור מצא את מטריצה קנונית שקולת שורות ל-. 5. תהי מטריצה ריבועית מסדר, מצא שתי מטריצות מסדר (ריבועיות), B סימטרית ו- C אנטי סימטרית כך ש-. B C. C, B תשובה:,. p p x x x 4x 6 כאשר 4 px 6. נתונה מטריצה א. בדוק האם היא שורש הפולינום.( p מקיימת ) ב. הראה כי מטריצה הפיכה ומצא את באמצעות. ג. מצא את כל המטריצות האלכסוניות מסדר המקיימות את המשוואה. p כאשר x x x 6 3 הוכח כי מטריצה הפיכה. 4 B 3.7 נתון כי מטריצה מקיימת I

13 X X מטריצה של עמודה אחת (וקטור עמודות), אז x.8 הוכח, כי אם x x. X אם ורק אם. rak x y y, x y, y y x, x x *9. הוכח, כי אם אז **. הוכח, כי אם מטריצה אנטי סימטרית, אז I הפיכה. הוכחה: מספיק להוכיח כי ממ"ל I x יש פתרון טריביאלי בלבד.. x x או אם, I x אז, x x לכן x x אבל -אנטי ) סימטרית), לכן. x x x מצד הימין ונקבל. x x x x נכפיל שני הגפים ב- x x x אבל, x x לכן x ו-. x x מכאן x (תרגיל.(7 3